-17- por EUGENIO ROANES


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1 -17- ANGULOS MEDBLES por EUGENO ROANES (Continuación) 7. gualdad de ángulos cualesquiera. Hasta ahora se han comparado únicamente ángulos del mismo vértice. nteresa también comparar ángulos de distinto vértice. Deseamos también definir la igualdad de ángulos de distinto vértice, de modo que sea una extensión del caso ya tratado de ángulos de vértice común. Es decir, estableceremos c1a igualdad de ángulos cualesquiera, de tal modo que dos ángulos sean iguales, cuando para su recorrido por semirrectas móviles de origen su vértice, éstas tengan que dar el mismo número de vueltas completas y trozos iguales de vuelta residual, girando en el mismo sentido. Se impone comenzar precisando qué es lo que entendemos por girar en el mismo sentido. Es decir, el sentido que hemos tomado como positivo 'para los ángulos de A o(p,1t'l, necesitamos transportarlo a ángulos de vértice distinto de O. Para precisar todo ello, haremos algunas definiciones. Definición 7.1. Diremos que las semirrectas a y b son paralelas, cuando están contenidas en 'rectas paralelas, lo que expresaremos escribiendo Definición 7.2. a 11 b Diremos que las semirrectas paralelas a y b, de orígenes respectivos A y B, son del mísmo sentido, cuando verifiquen una de las dos condiciones siguientes:. Una de las dos, al menos, está contenida en la otra (figura 7.1.).

2 Si ninguna de las dos está contenida en la otra, ambas están, contenidas en un mismo semiplano de borde la recta AB (figura 7.2). A b b Figura 7.1 Figura 7.2 Para expresar que la semirrecta a es del mismo sentido que la b, escribiremos. Definición 7.3. a t q Diremos que la semirrecta a es equipolente a la b, si a 1 b A a t b Para expresar que a es equipolente a b, escribiremos Proposición 7.1. a~b La equipolencia de semirrectas es una relación de equivalencia.. Proposición 7.2. Dada una semirrecta p y un punto A, existe una única semirrecta a, de o.rigen A y equipolente a p. Sea ~ el conjunto de todas las semirrectas del plano y sea T el conjunto de todos los semiplanos del plano. Sea T R el subconjunto de ~ x T formad-o por las parejas (a, X), consistentes en una semirrecta a y un semiplano X, cuyo borde es la recta que contiene a la semirrecta a. A los elementos de T R les llamaremos referenciales. Vamos a definir en T R una relación. Definición 7.4. Diremos que el referencial (a, X) es equipolente al (b, ~) Y escribiremos (a, X) ~ (b, ~)

3 -]9 - si se verifican:. a '" b, 1. o:e (3 V (3 e 0:. Los referenciales (a, 0:) y (b, (3) de la figura 7.3 son equipolentes. También lo son (a, 7t') y (b, 7t') de la figura 7.4. Pero no lo son (a, X) y (b, (3) de la figura 7.5, ni (r, p) y (s, p) de la figura 7.6. Figura A B '" Q»ob J Figura 7.4 -p- Figura 7.5 s"" Figura 7.6 Jo< r Proposición 7.3. La equipolencia de referenciales es una relación de equivalencia. Definición 7.5. Al origen, A. de la semirrecta a, se le llama origen del referencial (a, 0:). Proposición 7.4. Dados un referencial (p, 7t') Y un punto E (figura 7.7), existe un único referencial (e, E) de origen E (figura 7.8) y equipolente al ('J, 7t'). Dado un referencial (p, 7t') Y un punto E, designaremos por LE(P, 7t') al conjunto LE de las semirrectas de origen E, ordenadas respecto del referencial de origen E y equipolente al (p, re), corno se indicó en 1. Ahora, dado un referencial (p, re), para cada punto E, del plano, podemos definir los ángulos de origen E, corno subconjuntos de LE(p, 7t'), corno se ha indicado en 4. Designaremos por AE(P,7t') tales ángulos. al conjunto de

4 Designaremos por A(P,1t') al conjunto de todos los ángulos de vértices cualesquiera, respecto de (p, 1t'), es decir, " A(P,1t') = U A x (P, 7t') V X E plano 11:,.. >p p E.. E Definición 7.6. Figura 7.7 E Figura 7.S <. >e. De dos ángulos cualesquiera, al b y Ch dk perl.enecientcs"a A(P, 1t') diremos que son iguales" cuando tengan voltajes iguales y r,~~lones residuales iguales. Consideremos los ángulos a';b 5, de vértice 0, y C';d, de vértice E (figura 7.9). Ambos tienen el mismo voltaje (tres) y sus regiones residuales respecti- Q e Figura 7.9 :m

5 - 21- vas aparecen rayadas en la figura. La primera de ellas se transforma en la segunda, mediante la simetría axial de eje la recta que contie~e'a la semirrecta a, seguida de la simetría axial de eje la medíatríz, m, del segmento OE, seguida, a su vez, de la simetría axial de eje la recta qe.\ Proposicián 7.5. La igualdad de ángulos definida en 7.6 es una relación de equivalencia. Proposicián 7.6. Dos ángulos iguales tienen el mismo sentido. 8. Angulos generales. Detirucicn 8.1. Las clases de equivalencia a que da lugar la relación de equivalencia de la definición 7.6, se llaman ángulos generales.. ~ ~. Desígnaremos por AG' al conjunto de los ángulos generales, respecto de (p, re}, es decir, al conjunto cociente ' AG(P, 7t) = A(P, 7t) / igualdad Proposictén 8.1. Cada ángulo general posee un representante único, cuyo origen es U"Q semirrecta numerada prefijada. a Figura 8.1 q Dejinición 8.'2. Llamaremos representante canónico de un ángulo general, a aquel cuyo origen es po, donde p es la semirrecta del referencial (p, 7t).

6 -22 -,, El representante canónico de la clase a la que pertenece el ángulo bt~a5' de vértice E (figura 8.1), es el ángulo p;;qt. Definición 8.3. Llamaremos voltaje y región residual de un ángulo general a los de cualquiera de sus representantes. Proposición 8.2. El voltaje del ángulo general, cuyo representante canónico es Po Ch es igual al número entero k. Definición 8.4. Un ángulo general se dice positivo, si lo es uno cualquiera de sus representantes. Y negativo, en caso contrario. 9. Suma de ángulos generales. Definición "'" Se dice que el ángulo Ch dk es consecutivo del al bj, si la semirrecta numerada Ch es igual a la bit es decir, si b=c A h=j El ángulo toc? es consecutivo del d;t s Proposición 9.1. Definición 9.2. Para sumar el ángulo general A, con el B, elegimos arbitrariamente un representante aibj de A. Tomaremos el representante b/ck de B, cul'o origen es b], El ángulo general suma, será aquel al que pertenece a Ck.

7 A B El proceso de suma se esquematiza así: A + B +- representante arbitrario representante de origen el extremo del anterior ->- a;b '" ~ >-b/ck/-l La proposición 9.1, asegura que esta definición es consistente. Proposición 9.2. al Ck +-_1 El conjunto Ad P, re) posee estructura de grupo abeliano, respecto de la suma definida en 9.2. Observaciones. Los ángulos, como el a m, cuyo origen coincide con su extremo, forman el ángulo general, elemento neutro del grupo. Si a(b pertenece a un cierto ángulo general, bjat, pertenecerá a su opuesto. 10. Desigualdad de ángulos generales. Sea AG+(p, lt) el subconjunto de los ángulos generales que son positivos. Propiedades de los ángulos generales positivos:. AG+(P, 1t} es un semigrupo. n. V A E Ad P, 1t}\ o bien A, o bien su opuesto, pertenecen a AG+(P, lt). Definición Diremos que el ángulo general A, es menor o igual que el B, y escribiremos si existe un ángulo general positivo H, tal que Proposición La relación <: es de orden total H+A=B

8 Ll, Medida de ángulos. Sea RA el conjunto de las regiones angulares del plano. Supongamos establecida una medida de regiones angulares, en la forma habitual (en radianes, por ejemplo), es decir, una aplicación RA m que asocia, a cada región angular ;, un número real, no negativo, m(~), y que conserva el orden y la suma. Definición Sea la aplicación ----~ {-l, 1 } e z asocia a cada ángulo general, A, el número entero ira), definido así 2, si A es de sentido positivo ira) = 1, si A es de sentido negativo Definición Llamaremos medida de ángulos generales a la aplicación M -----~ R = { números reales } que asocia, a cada ángulo general, A, el número real: M(A) = (_)(A) (2 1'1" u(a) + m[r(a]) radianes donde uta) es el voltaje de A y m[r(a)] es la medida de la región residual de A. Si el ángulo a-;c 7 (figura 11.1) pertenece a la clase A, entonces luego a 2 < C 7 :::::> i(a) = 2 a J::: e :::::> uta) = q (7-2) = 4 1'1" m[r(a)] = 3-2 radianes M(A) = (_1)2 (2 1'1" '1" ) 2 19 = --1'1" 2

9 -25- Propiedades de la medida: La medida así definida. verifica las siguientes propiedades: L La aplicación M es biyectiva. n. M(A + B) = M(A) + M(B) A < B :;:::> M(A) <; M(B). C~ a Figura Observaciones.. Angulos y giros. Sea G o el grupo de giros concéntricos de centro O. La aplicación t Go que asocia a cada ángulo general A, el giro t(a), de centro O y amplitud Al es un homomorfismo, cuyo núcleo es el subgrupo de los ángulos de residuo nulo. En consecuencia, G o es isomorfo al conjunto cociente de AG(P, 1t) respecto de la relación consistente en tener el mismo residuo. n. Angulas no orientados. El estudio anterior es susceptible de realizar considerando ángulos absolutos (sin considerar el sentido). Basta para ello identificar al~bj con ajb, lo que permite escribir las dos semirrectas numeradas, que son los lados del ángulo, en orden, esto es de modo que si escribamos aib y no b;a. al < b

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