Práctica 8: Series - Convergencia Uniforme - Espacios de Funciones


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1 Cálculo Avazado Segudo Cuatrimestre de 2005 Práctica 8: Series - Covergecia Uiforme - Espacios de Fucioes Ejercicio. i) E cada uo de los casos siguietes, hallar el límite putual de la sucesió (f ) N deida e el cojuto A R dado: (a) f (x) = x A = (, ] (b) f (x) = ex x A = (, + ) (c) f (x) = 2 x( x 2 ) A = [0, ] ii) Para la sucesió dada e (a), demostrar que la covergecia es uiforme sobre B = (0, 2 ). Idem para la sucesió dada e (b) sobre B = [2, 5]. ¾Es uiforme la covergecia de la sucesió dada e (c) sobre A? Ejercicio 2. Sea (X, d) u espacio métrico y sea A u cojuto. Sea (f ) N X A ua sucesió de fucioes y sea f : X A. Probar que: (f ) N o coverge uiformemete a f e A si y sólo si existe α > 0, ua subsucesió (f k ) k N de (f ) N y ua sucesió (a k ) k N A tales que d(f k (a k ), f(a k )) α para todo k N. Ejercicio 3. Aalizar la covergecia putual y uiforme de las siguietes sucesioes de fucioes (f ) N : i) f (x) = se x ii) f (x) = se ( x ) e R e R iii) f (x, y) = + (x, y) e R2 iv) f (x) = ( + )x e [0, ] { v) f (x) = si x / Q ó x = 0 b + si x = a b, b > 0 y (a : b) = e [0, ] vi) f (z) = z e {z C : z < } x x(x2 +) +x 2 +(+) 2 x 2 Ejercicio 4. Probar que la sucesió de fucioes f (x) = putualmete pero o uiformemete, e R, a ua fució cotiua. ( N) coverge Ejercicio 5. Sea C [0, ] el epacio vectorial de las fucioes f : [0, ] R de clase C e [0, ] (esto es cotiuas e [0, ] y co derivada f cotiua e [0, ]).. Cosideremos la aplicació lieal D : (C [0, ], ) (C[0, ], ) dada por D(f) = f. Mostrar que o es cotiua. 2. E cambio si e C [0, ] cosideramos la orma: f C = f + f D : (C [0, ], C ) (C[0, ], ) sí resulta cotiua.

2 3. Probar que C [0, ] o es completo co la orma pero sí lo es co C. Ejercicio 6. Estudiar la covergecia putual y uiforme de las sucesioes f (x) = e [, ]. x2 +x 2 y f Ejercicio 7. Sea X u cojuto y sea B(X) = {g : X C : g es acotada }. Sea (f ) N B(X). i) Si (f ) N coverge putualmete a ua fució f e X, ¾es cierto que f B(X)? ii) Probar que: (a) Si (f ) N coverge uiformemete a ua fució f e X, etoces f B(X). (b) (f ) N coverge uiformemete a f si y sólo si (f ) N coverge a f e (B(X), d ) (c) Si (f ) N coverge uiformemete e X, etoces existe M > 0 tal que f (x) M x X N, es decir, (f ) N es uiformemete acotada. Ejercicio 8. Sea (f ) N R R ua sucesió de fucioes uiformemete cotiuas que coverge uiformemete a ua fució f sobre R. Aalizar la cotiuidad uiforme de f. Ejercicio 9. Sea (X, d) u espacio métrico y sea (f ) N, (g ) N R X dos sucesioes de fucioes cotiuas uiformemete covergetes sobre X a f y g respectivamete. Probar que: i) (f + g ) N coverge uiformemete a f + g sobre X. ii) Si ambas sucesioes está uiformemete acotadas, etoces (f.g ) N es uiformemete covergete a f.g. Ejercicio 0. Sea (X, d) u espacio métrico compacto y sea A u cojuto. Sea (f ) N R X y (g ) N X A sucesioes de fucioes que coverge uiformemete a fucioes f : X R y g : A X respectivamete. Probar que (f g ) N R A coverge uiformemete a f g. Ejercicio. (Teorema de Dii) Sea (X, d) u espacio métrico compacto y sea (f ) N ua sucesió de fucioes cotiuas de X e R tales que: f (x) f + (x) x X N (f ) N coverge putualmete a ua fució f : X R cotiua. Probar que (f ) N coverge uiformemete a f e X. Ejercicio 2. Sea (X, d) u espacio métrico compacto. Sea (f ) N ua sucesió de fucioes cotiuas de X e R y sea f : X R cotiua. Probar que (f ) N coverge uiformemete a f si y sólo si para toda sucesió (x ) N que coverge a x X, la sucesió (f (x )) N coverge a f(x). Ejercicio 3. Sea (X, d) e (Y, d ) espacios métricos. Ua familia F de fucioes deidas sobre X a valores e Y se dice equicotiua e x 0 X si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, x 0 ) < δ = d (f(x), f(x 0 )) < ε f F Se dice que F es equicotiua e X si es equicotiua e x para todo x X. Fialmete, la familia F se dice uiformemete equicotiua e X si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ = d (f(x), f(y)) < ε f F 2

3 i) Probar que cualquier cojuto ito de fucioes de X e Y cotiuas e x 0 X es equicotiuo e x 0. ii) Supogamos que X es compacto. Probar que: (a) Si ua familia F es equicotiua e X, etoces es uiformemete equicotiua. (b) Si f : X Y es cotiua para todo N y (f ) N coverge uiformemete e X, etoces (f ) N es equicotiua e X (por lo tato es uiformemete equicotiua). (c) Si (f ) N es ua sucesió de fucioes uiformemete equicotiua y (f ) N coverge putualmete a f e X, etoces (f ) N coverge uiformemete a f e X. Ejercicio 4. Sea f : [a, b] R itegrables y uiformemete acotadas. Se dee F (x) = b a f (t) dt (a x b) Probar que existe ua subsucesió (F k ) que coverge uiformemete sobre [a, b]. Ejercicio 5. Si la serie a coverge absolutamete, probar que tambié lo hace las siguietes series: a 2, a + a, a 2 + a 2 Ejercicio 6. Criterio de la Itegral Sea f : [, + ) R 0 ua fució decreciete, cotiua y tal que lim f(x) = 0. Para cada x + N se dee S = f(k) T = f(x) dx D = S T Probar que: k= i) 0 < f( + ) D + D f(), para todo N ii) Existe D = iii) lim + D f() coverge si y sólo si iv) 0 D D f() para todo N. f(x) dx coverge Ejercicio 7. Sea (a ) N, (b ) N C. Para cada N sea A = a k. Probar que: i) a k b k = A b + A k (b k+ b k ) k= ii) Si k= a coverge y (b + b ) coverge absolutamete, etoces a b coverge. iii) Si (A ) N es acotada, coverge. k= (b + b ) coverge absolutamete y b 0, etoces a b 3

4 Ejercicio 8. Sea (f ) N ua sucesió de fucioes cotiuas deidas sobre u espacio métrico (X, d) a valores e R tal que f coverge uiformemete sobre X. Probar que: i) f = f es cotiua e X. ii) Si X = [a, b] R, etoces b a f(x) dx = b a f (x) dx Ejercicio 9. (Test de Weierstrass) Sea (X, d) u espacio métrico y, para cada N, sea f : X R ua fució tal que f (x) M para todo x X. Probar que si coverge, etoces f coverge uiforme y absolutamete e X. M Ejercicio 20. Sea (a ) N ua sucesió tal que a coverge absolutamete. Probar que a cos (x) y a se (x) coverge uiformemete e R. Ejercicio 2. Hallar (y justicar) los cojutos e R de covergecia putual, uiforme y o covergecia de las siguietes series ( ) (a) x (b) a x (c) x (d) x! (e)! x Ejercicio 22. i) Mostrar que la serie se x = itervalo ito. ii) Probar que la fució f(x) = k=0 ( ) k (2k + )! x2k+ coverge uiformemete sobre todo ( x ) 2 es cotiua e R.! Ejercicio 23. Sea f(x) = i) Hallar el domiio de f e R. + (x) 2. ii) ¾Sobre qué itervalos coverge uiformemete? iii) ¾Sobre qué itervalos o coverge uiformemete? iv) ¾Es f cotiua e su domiio? v) ¾Es f acotada? 4

5 Ejercicio 24. Sea f C[0, ] tal que 0 f(x)x dx = 0 N 0. Probar que f 0. Ejercicio 25. (Fució zeta de Riema) Cosideramos la fució dada por la serie: ζ(s) =. Probar que la serie coverge uiformemete e cada itervalo ( + ε, ) (siedo ε > 0) 2. Probar que ζ(s) es cotiua e (, + ) y que es posible derivar la serie térmio a térmio e dicho itervalo. 3. Probar que si P N desiga el cojuto de los úmeros primos, etoces ζ(s) = p P s p s 4. Probar que lim s + ζ(s) =. Deducir que existe iitos úmeros primos. 5

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