<x,ñ) = exp(2,ri ñ-x) = exp(2tíi nkxk ) (x e Tw ) Pub. Mat. UAB N 21 Oct Actes VII JMHL INFINITAS VARIABLES CONVERGENCIA DE SERIES DE FOURIER DE


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1 Pub. Mat. UAB N 21 Oct Actes VII JMHL CONVERGENCIA DE SERIES DE FOURIER DE INFINITAS VARIABLES José L. Rubio de Francia Facultad de Ciencias Universidad de Zaragoza Abstract : Given a function f in the infinite-dimensional torus (derioted T- ),rectangular sums of its Fourier series S Rf are properly defined,and we study the Eointwise and norm convergence as R increases to Z~=(T )^ In the mixed norm spaces LP(TW),P=(pk)1,convergence i9 norm holds iff Elp -21<- Pointw se convergence in L fails in general,bul there are positive results under some restrictions on the Fourier coefficients. N Clasificaci6n A.M.S Introducción Sea T el toro unidimensional identificado de modo natural con el intervalo [0,1). Designamos por Tw el grupo compacto producto de una infinidad numerable de copias de T. El grupo dual Zm está formado por sucesiones finitamente no nulas de números esteros. Cada ñ = (nl,n2," " nk'...) e Z' actúa como caráter en T"' de forma obvia nulos de (nk ). <x,ñ) = exp(2,ri ñ-x) = exp(2tíi nkxk ) (x e Tw ) (v.[8]). Denotamos IñI= suplnk, #(n) = n de elementos no Fijada una sucesión (e n ) de números positivos con e n-->0 definimos en Z - los "rectángulos" R = {n : ink l< e k } 6 R = {ñ : Ink 1< 6 e k } f 0 < 6 < -

2 Es obvio que { R} es una familia creciente de subconjuntos fin tos cuya unión es todo Z-. Se trata de estudiar si las sumas n f (n) exp(2vri ñ.x) de la función f e L1 (Tw ) El Análisis de Fourier en terés puede justificarse de un 16gica del Análisis de Fourier taciones que no dependan de la (exp(2nixk ) : k=1,2,...} es un independientes uniformemente distribuidas en la circunferencia unidad compleja (i.e. una versión complexificada de las funciones de Rademacher),cuya completaci6n natural en L2 es el sistema trigonométrico sobre Tw por lo que resultan ser las series de Fourier de infinitas varables el análogo complejo de las series de Walsh. Las series de Fourier en Tm tienen también conexión con las series de Diriclet (v.[2]) y con la Teoría de la Predicción (v.[6]). Los resultados presentados aquí son consecuencia bastante sencilla de técnicas usadas en dimensión finita,y solo pretenden servir de motivación para un estudio más profundo. 2.-Convergencia en Norma El análogo del teorema de M.Riesz : 11S R fll p ~= Cp 111p solo es válido para p=2 según es fácil probar. Como el teorema en L2 es trivial,en búsqueda de resultados definimos los espacios convergen en algún sentido a f (&--->-). Tw ha sido poco tratado. Su inlado por constituir una extensión n-dimensional,pero obteniendo acodimensi6n n. Por otro lado, sistema de variables aleatorias Lp(Tw) = Lpl,p2'...,pk,...(Tx Tx...xTx...) positivos menos obvios (con p = (Pl'P2,...,pk" "), ll='pkl~ ) de manera análoga espacios de norma mixta de Benedek-Panzone al limite. TEOREMA l :a) Los operadores (S éír ) son uniformemente a los (v.[l])con un paso acotados para c a en LI(T w ) ( equivalentemente lim 11 S f - f il R P = 0 da f e Lp ) si y solo si E Ip k-21<b) Si 7 = - existe una función f e Lp pk< 2 (2-pk) tal que cuando 6 --> - (S R f) es divergente en medida. 238

3 La acotación uniforme de (S ~) equivale a la existencia de un operador acotado S r asociado al multiplicador X,con r = r = {ñ e Z : nk>o}. La primera parte se obtiene expresando la norma de S como producto de las normas de las transformadas r p de Hilbert en L k (T) (v.[7]). La segunda parte se deduce del mismo argumento junto con una versión adecuada del teorema de Stein (v.[9]) 3.-Convergencia Puntual Por Teor.l(b) fio.cabe esperar resultados positivos de convergencia a.e. si f e Lp (TW ) con p<2. Nos limitaremos a est_u diar la convergencia puntual para funciones de L2. TEOREMA 2 : Existe f e L 2 (Tw) tal que d sup 1 S órf (x) _ +m a. e. En vista de este resultado negativo,buscamos conjuntos en Z tales que haya convergencia casi por todo para las funciones del espacio L2A (T' ) _ { fel2 : f (ñ) = 0 (dr A) ) TEOREMA 3 : Consideremos los subconjuntos de A (m) _ { ñ= (nk) : I ñl =supl nkl } k<=m B (m) = { ñ= (nk) : # (ñ) 11-~ m} Para toda f e LA(m) y para toda f e LB(m) se verifica lim S 6Rf(x) = f(x) a.e. En ambos casos se trata de obtener la acotación A I*~ II (Sup I S 6R fl )11 2 ~ C IIf11 2 (f e LA) En el caso de A(m) esto se consigue con una adaptación del méto do de Fefferman (o de Tevzadze) en dos variables (v.[5] ). Para B(m) hay que usar inducción sobre m con un cierto argumento combinatorio,comenzando por probarlo para B(1). Las funciones de son del tipo LB(1) f (x) _ 11= k!!= (en ), con f kel2 (T)

4 y [*] se obtiene a partir de la acotación del operador maximal en una variable (v.[3] ) y de argumentos de independencia análogos a los de la desigualdad de Kolmogorov para la ley fuerte de los grandes números. 4.- Problemas Abiertos Casi todo el Análisis de Fourier en T O3 es un problema abierto,pero quiero expecificar los siguientes : A) Desarrollar una teoría de Littlewood-Paley en T w o (casi equivalentemente) dar versiones no triviales de los multiplicadores de Marcinkiewicz-Hormander. B) Adaptar a Tw las diversas definiciones de espacios HP estudiando su descomposición at6anica,dualidad,etc. C) Obtener métodos de sumabilidad a.e. aplicables a funciones de LpW') con p < 2 (Los únicos procesos de sumabilidad conocidos son los que resultan del trabajo de Edwards y Hewitt [4] válidos para L1 pero excesivamen te elementales y poco satisfactorios por requerir dos pasos al límite consecutivos).'.~ ' D) Si pk > 1- pero pk-4 1, el espacio Lp no está contenido en ningún * espacio de Orlicz estrictamente menor que Ll. Con la identificación 2w = [0,1) pueden definirse los espacios Lp([0,1)) respecto de la medida de Lebesgue,estudiando en ellos la acotación de ciertos operadores relacionados con series de Fourier ordinarias o (lo que parece más natural) con series de Walsh. Referencias : [1] A.BEPEDEK,R. PANZONE :The spaces Lp with mixed norm. Duke Math. J. 28 (1961), [2] H. BOHR : Uber die Bedeutung der Potenzreihen unendlich vieler Variabeln in der Theorie der Dirichletschen Reihen. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.-Physik,Kl. 1913, ' [3] L. CARLESON :On convergence and growth of partial sums of Fourier series. Acta Math. 116 (1966), [4] R.E. EDV~ E. HEWITT : Pointwíse limits for sequences of convolution operators. Acta Math. 113 (1965),

5 C. FEFFERMAN :On the convergence of multiple Fourier series. Bull. A.M. S. 77 (1971), H. HELSON,D. LOWDENSLAGER : Prediction theory and Fourier series in seve - ral variables. Acta Math. 99 (1958), S. PICHORIDFS :On the best values of the constants in the theorems of M. Riesz,Zygmund and Kolmogorov. Studia Math. 44 (1972), [8] W. RUDIN : Fourier Analysis on Groups. Interscience,New York 1962 [9] E.M. STEIN:Singular Integrals and..... Princeton Univ. Press, 1970

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