PPL PARA RESOLVER CON SOLVE


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1 PPL PARA RESOLVER CON SOLVE 1. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?. 2. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela. 3. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio? 4. Disponemos de euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de euros en las del tipo A y como mínimo en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? 5. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 6. Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a. Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. Qué mezcla hace q mínimo? 7. Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo toneladas de merluza y toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las toneladas. Si el precio de la merluza es de Bs/kg y el precio del rape es de Bs/kg, qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio? 8. En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una Ha de A es de ptas. y el de una Ha de B de ptas. Las disponibilidades de trabajo de explotación son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros. a. Representar el conjunto factible. b. Calcular el beneficio máximo. 9. La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de bolívares, y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones de bolívares Cuántos automóviles de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?

2 10. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 Bs. el litro de aceite C y a 125 Bs. el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de Bolívares, Cuál es la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? Cuál es la máxima de C? 11. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. 12. Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es: dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5. y el de la dieta D2 es 1,45. Cuál es la distribución óptima para el menor costo? 13. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A, ni más de 10 has. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 y cada una de tipo B, 225. Se dispone de 4500 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite. b) Obtener la producción máxima. 14. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este? 15. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón requiere 1 m de algodón y 2 m de poliéster, cada chaqueta requiere 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 16. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de m3 de producto que necesita refrigeración y m3 de otro que no la necesita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 y el B de 40. Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 17. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo. 18. Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que

3 produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste. 19. Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distintas procedencias, cada uno de los cuales tienen distintas características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos (4 en total) y sus características más importantes : el tanto por ciento de azufre, la densidad y el precio por TM en pesetas. Se exige que la mezcla tenga unas características concretas que se traducen en un porcentaje del 40% de contenido de azufre y una densidad igual al 91%. Se desea que el precio de la mezcla sea mínimo. 20. Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos : el pequeño, el mediano y el grande. El primero requiere triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de triplay se pueden obtener 12 cuadros pequeños u 8 medianos ó 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay, 68 rollos de estambre de 500 metros cada uno y clavos. El cuadro pequeño requiere de 3 horas, el mediano de 5 horas y el grande de 6 horas para su elaboración. Mensualmente se dispone de 530 horas para la fabricación de los cuadros. La experiencia que se tiene de las ventas muestra que mínimo se venden 25 cuadros grandes por cada 60 cuadros pequeños. El margen de utilidad para los cuadros pequeños, medianos y grandes son $22, $35 y $45 respectivamente, Cuántos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea máxima? 21. Una fábrica de zapatos predice las siguientes demandas por sus pares de zapatos para los próximos 6 meses : mes 1 = 200; mes 2 = 260; mes 3 = 240; mes 4 = 340; mes 5 = 190; mes 6 = 150. El costo de fabricar un par de zapatos es de US$ 7,00 con horas normales de trabajo y de US$ 11,00 con horas de sobretiempo. Durante cada mes, la producción en horario normal está limitada a 200 pares de zapatos y la producción con sobretiempo está limitada a 100 pares. Guardar un par de Zapatos en inventario cuesta US$ 1,00 por mes. Formule un modelo matemático que permita obtener una solución óptima. 22. Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de minimesas y minisillas que vende a 2000 unidades monetarias (u. m.) y 3000 u. m. por cada artículo, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniendo las siguientes restricciones: El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de cuatro por día y operario. Cada minimesa requiere dos horas para su fabricación; cada minisilla, tres horas. La jornada laboral máxima es de diez horas. El material utilizado en cada minimesa cuesta 400 u.m. El utilizado en cada minisilla cuesta 200 u.m. Cada operario dispone de 1200 u.m. diarias para material. Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de programación lineal. 23. En un almacén de frutas hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos; el lote B se compone de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneficio por kilogramo que se obtiene con el lote A es de 1200 u.m. y con el lote B de 1400 u.m. Determinar el número de kilogramo de cada tipo para conseguir beneficios máximos. Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de programación lineal. 24. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de

4 naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. 25. Una multinacional farmacéutica desea fabricar un compuesto nutritivo a base de dos productos A y B. El producto A contiene 30% de proteínas, un 1 % de grasas y un 10% de azúcares. El producto B contiene un 5% de proteínas, un 7% de grasas y un 10% de azúcares. El compuesto tiene que tener, al menos, 25g de proteínas, 6g de grasas y 30g de azúcares. El coste del producto A es de 0.6 u.m./g. y el de B es de 0.2 u.m./g. Cuántos gramos de cada producto debe tener el compuesto para que el coste total sea mínimo? 26. Una asociación agrícola tiene dos parcelas: la parcela Pj tiene 400 Ha de tierra utilizable y dispone de 500 m3 de agua, mientras la parcela P2 tiene 900 Ha de tierra utilizable y dispone de 1200 m3 de agua. Los cultivos aconsejados son: remolacha y algodón. La remolacha consume 3 m3 de agua por Ha, con un beneficio de 700 u.m. por Ha; el algodón consume 2 m3 de agua por Ha, con un beneficio de 500 u.m. por Ha. Se ha establecido una cuota máxima por Ha para cada cultivo: 800 para la remolacha y 600 para el algodón, siendo el porcentaje total de terreno cultivado el mismo en cada parcela. Plantear el problema de programación lineal. 27. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 275 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 kg y por una docena de tipo Q es 30. Hallar, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. 28. La compañía El Cóndor opera un avión que transporta tanto a pasajeros como carga entre los aeropuertos de Bogotá, Medellín y Cali. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tiene tres bodegas: inferior, media y superior. Debido a las limitaciones de espacio que hay, el avión no puede llevar más de 100 toneladas de carga en cada viaje: la bodega inferior debe llevar máximo 40 toneladas de carga, la bodega intermedia debe transportar un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar 2/5 partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo, no se deben llevar más de 60 toneladas de carga entre las bodegas media y superior. Las utilidades por el transporte son de 8000 u.m. por tonelada de carga en la bodega inferior, u.m. por tonelada en la intermedia y u.m. en la superior, después de deducir los gastos. Plantear un modelo de PL para determinar la forma de cargar el avión que maximice las utilidades. 29. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: Ay B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua; la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 u.m. y el de la colonia B es 2000 u.m. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. 30. Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos. Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo? 31. La empresa San Guemil fabrica dos tipos de cerveza, una lager y una pilsen, para lo cual necesita disponer de malta, lúpulo y levadura. Cada metro cúbico de lager requiere 50 kg de malta, 20 de lúpulo y 2 de levadura. Cada metro cúbico de pilsen necesita 60 kg de malta, 25 de lúpulo y 2 de levadura. El beneficio que obtiene la empresa con cada metro cúbico de lager es de 140 um, mientras que con cada metro cúbico de pilsen obtiene 150 um. San Guemil dispone de una tonelada de malta por semana, 250 kg de lúpulo y 22 kg de levadura también por semana.

5 32. Una empresa produce y comercializa tres tipos de productos, P1, P2 y P3, que sirve en palés, que pueden o no estar completos (se puede entregar un palé a medio completar, medio palé, un cuarto de palé, etc.) Por cada palé de estos productos, obtiene unos ingresos netos de 4, 12 y 2 unidades monetarias, respectivamente. Existe una instalación de la que se dispone de un total de 6 días de trabajo a la semana. Producir un palé de P1 lleva 3 días, uno de P2 lleva 6 días y montar uno de P3 lleva 2 días. Además, existe un compromiso de entregar al menos el contenido conjunto equivalente a dos palés 33. Un estudiante debe realizar un examen de problemas y se le da la posibilidad de escogerlos entre los que figuran en tres listas. Los problemas de la lista 1 se puntúan con 5 puntos cada uno, los de la 2 con 4 puntos y los de la tres con 6. El alumno sabe que necesita 3 minutos para resolver cada problema de la lista 1, 2 minutos para los de la 2 y 4 minutos para los de la 3. Dispone de 3 horas y media para realizar el examen. Los problemas de las listas 1 y 2 emplean bastante cálculo y el alumno no desea dedicarles más de 2 horas y media. Cómo puede alcanzar la puntuación máxima? 34. Una compañía tiene dos grados de inspectores 1 y 2, que son asignados al control de calidad. Se requiere inspeccionar al menos 1800 piezas por día (8 horas). El inspector de grado 1 chequea piezas a velocidad de 25 piezas por hora con una exactitud del 98%. Los de grado 2 chequean a velocidad de 15 piezas por hora con una exactitud del 95%. El salario del inspector de grado 1 es de 4 bs/hora, y el de grado 2 de 3bs/hora. Cada vez que se produce un error, el coste a la compañía es de 2 bs. La compañía tiene 8 inspectores de grado 1 y 10 de grado 2. Determinar la asignación óptima de inspectores que minimicen el coste total de inspección. 35. En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y Ano supera los 2 g mientras que la suma no debe sobrepasar los 5 g. Además se utiliza por lo menos 1 g de B y se requiere 1 g de A. La sustancia A se vende a 5 millones de u.m. y la B cuesta 4 millones de u.m. el gramo. Calcular la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea máximo. Plantear y resolver el anterior problema como un modelo de programación lineal. 36. Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero»la captación de depósitos lleva una hora para convencer al cliente y otra de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar depósitos. Cuántas operaciones de cada tipo le conviene realizar a la entidad para obtener el máximo beneficio? Seguir los siguiente pasos: Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Dar la función objetivo. Cuántas operaciones realiza de cada tipo?

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